Trigonometria no Triângulo Retângulo no ENEM

Questão 1

Uma equipe de topografia precisa medir a distância direta entre dois marcos A e B sem acesso ao caminho entre eles. Partindo do ponto T, um topógrafo percorreu 5 km até o marco A e, por outro caminho, 3 km até o marco B. O ângulo ATB medido com teodolito foi de 120°, conforme o esboço adjunto. Usando a Lei dos Cossenos — c² = a² + b² − 2ab·cos(C) — e sabendo que cos(120°) = −1/2, qual é a distância direta AB entre os marcos?

Gabarito: D. A Lei dos Cossenos generaliza o Teorema de Pitágoras para triângulos quaisquer: quando C = 90°, cos(C) = 0 e a fórmula se reduz a c² = a² + b². Para ângulos obtusos (como 120°), cos(C) é negativo, tornando o lado oposto maior do que seria se o ângulo fosse reto — o triângulo 'abre' mais. Verificar o sinal de cos(C) é o passo crítico.

Questão 2

Uma equipe de topografia precisa determinar a distância AC entre dois marcos do terreno sem acesso direto. No triângulo formado pelos pontos A, B e C, a equipe mediu com teodolito os ângulos internos: ângulo A = 30°, ângulo B = 45° e, portanto, ângulo C = 105°. O lado BC (oposto ao ângulo A) foi medido diretamente como a = 6 km. O esboço adjunto exibe o triângulo com esses dados. Usando a Lei dos Senos — a/sen(A) = b/sen(B) —, com sen(30°) = 1/2 e sen(45°) = √2/2, qual é a distância b = AC?

Gabarito: B. A Lei dos Senos estabelece que em qualquer triângulo a razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante: a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C). Para encontrar um lado desconhecido, isola-se na proporção usando o lado e o ângulo opostos conhecidos. Útil em triangulação topográfica quando não há ângulo reto.

Questão 3

Um estudante do curso técnico de edificações em uma escola estadual está realizando o módulo de prumo e nivelamento de pilares. Durante uma aula prática na obra-escola do campus, o instrutor demonstra a técnica do triângulo 3-4-5: um triângulo de lados 3 metros, 4 metros e 5 metros — com 5 metros de hipotenusa — garante perpendicularidade quando seus catetos estão alinhados com a parede e o chão. Para calcular o ângulo de inclinação do pilar e verificar se ele está dentro da tolerância admissível de obra, o estudante precisa determinar o seno do ângulo agudo desse triângulo cujo cateto oposto mede 3 metros e cujo cateto adjacente mede 4 metros, conforme indicado no croqui do instrutor. Qual é o seno desse ângulo agudo?

Gabarito: A. As três razões trigonométricas relacionam os lados ao ângulo: seno é oposto sobre hipotenusa, cosseno é adjacente sobre hipotenusa e tangente é oposto sobre adjacente. Identificar corretamente qual cateto é oposto e qual é adjacente ao ângulo é essencial para não trocar as razões.