Progressões Aritméticas e Geométricas (PA e PG) no ENEM

Questão 1

Uma pessoa investiu R$ 1.000 em uma aplicação financeira com rendimento de 20% ao ano, com os juros incorporados ao capital ao final de cada período — o que caracteriza juros compostos e uma progressão geométrica de razão 1,2. O gráfico de barras adjunto exibe a evolução do capital nos primeiros cinco anos de investimento. Uma linha de referência tracejada indica o nível de R$ 2.000. O investidor quer saber ao término de quantos anos completos o capital supera R$ 2.000 pela primeira vez, para planejar o resgate antecipado.

Gabarito: C. Juros compostos formam uma progressão geométrica: o capital é multiplicado pela mesma razão (1 + taxa) a cada período. Para encontrar o menor n tal que Pₙ > valor-alvo, calcula-se o termo da PG para n = 1, 2, 3, ... até ultrapassar o alvo. A equação Pₙ = 2.000 pode ser resolvida com logaritmo: n = log(2)/log(1,2) ≈ 3,8, confirmando que o primeiro inteiro que supera é n = 4.

Questão 2

Um artista plástico criou uma instalação em que quadrados concêntricos são desenhados em sequência, cada um com lado igual a 2/3 do lado do anterior. O primeiro quadrado tem lado de 18 cm. A área de cada quadrado forma uma Progressão Geométrica de razão 4/9. Para calcular o espaço total que seria ocupado se todos os quadrados fossem sobrepostos sem limite, o artista precisa da soma dos termos de uma PG de razão menor que 1 em valor absoluto, que converge para um valor finito. O gráfico adjunto ilustra a progressão. Considerando a soma do primeiro termo a₁ = 18 com razão q = 2/3, qual é a soma de todos os termos da progressão geométrica?

Gabarito: D. A soma de uma PG infinita convergente (|q| < 1) é S = a₁/(1 − q). Para q < 0 ou 0 < q < 1, os termos tendem a zero e a soma é finita. Quando q ≥ 1 ou q ≤ −1, a soma diverge. Aqui, q = 2/3 ∈ (0, 1), garantindo convergência. Dividir pelo complementar (1 − q) e não por q é o erro mais comum.

Questão 3

Uma cerâmica de Araçuaí, no Vale do Jequitinhonha (MG), especializada na produção artesanal de ladrilhos para revestimento de fachadas históricas, adquiriu novas fornalhas por meio de um programa estadual de fomento à indústria. Com o novo equipamento, a gerência planejou uma expansão gradual da capacidade diária de produção: no primeiro dia de operação das fornalhas novas, a fábrica produziu 150 ladrilhos, e a cada dia seguinte seriam acrescentados mais 30 ladrilhos à produção do dia anterior, formando uma progressão aritmética. O diretor comercial precisa saber quantos ladrilhos serão produzidos no sétimo dia de operação para dimensionar o espaço de armazenagem no galpão e negociar o contrato de entrega com a construtora parceira. Qual é a quantidade de ladrilhos produzida no sétimo dia de operação das novas fornalhas?

Gabarito: D. A fórmula do termo geral de uma PA, aₙ = a₁ + (n−1)·d, permite localizar qualquer elemento da sequência sem listar todos os anteriores — essencial em planejamento de produção, finanças e situações cotidianas com crescimento linear.