Geometria Analítica no ENEM

Questão 1

Uma empresa de telecomunicações precisa instalar um repetidor de sinal exatamente no ponto equidistante das duas antenas transmissoras já instaladas na região. Num mapa digital, com eixos em quilômetros, a antena A está posicionada em (1, 3) e a antena B em (5, 7). A equipe técnica deve determinar a equação da mediatriz do segmento AB — a reta formada por todos os pontos equidistantes de A e B —, pois o repetidor deverá ser instalado sobre essa reta para garantir cobertura simétrica. O gráfico adjunto exibe as posições de A, B e o ponto médio M do segmento. Qual é a equação da mediatriz do segmento AB?

Gabarito: B. A mediatriz de um segmento é a reta perpendicular a ele passando pelo seu ponto médio. Para construí-la: (1) calcule o ponto médio; (2) calcule a inclinação do segmento; (3) obtenha a inclinação perpendicular (negativa recíproca); (4) aplique a equação da reta ponto-inclinação. Essa construção aparece em circuncentros de triângulos, equações de circunferências e problemas de otimização de localização de instalações.

Questão 2

Um escritório de arquitetura recebeu a planta de um lote triangular urbano para avaliação imobiliária. No mapa, com eixos em metros, o lote é delimitado por três ruas representadas pelas equações r₁: y = x + 2, r₂: y = −x + 8 e r₃: y = 2. O gráfico adjunto exibe as três retas e o triângulo formado pelos cruzamentos. Para calcular o valor do terreno com base no preço por metro quadrado praticado na região, o arquiteto precisa da área exata do lote. Qual é a área do lote triangular, em metros quadrados?

Gabarito: C. Para calcular a área de um triângulo definido por equações de retas, o método mais direto é: (1) encontrar os três vértices resolvendo os pares de equações; (2) identificar uma base horizontal ou vertical para simplificar o cálculo da altura; (3) aplicar A = (1/2) × base × altura. Quando nenhum lado é horizontal ou vertical, usa-se a fórmula de Gauss com as coordenadas.

Questão 3

A área de cobertura de um radar de controle aéreo é representada, em uma mapa com eixos em quilômetros, pela equação geral da circunferência x² + y² − 6x + 4y − 3 = 0. Para configurar os limites de alerta do sistema, a equipe técnica precisa identificar o centro e o raio de cobertura do radar. O gráfico adjunto mostra a circunferência no plano cartesiano. Para encontrar o centro e o raio, é necessário completar os quadrados em x e em y e reescrever a equação na forma reduzida (x − a)² + (y − b)² = r². Quais são o centro C e o raio r da circunferência?

Gabarito: A. A forma geral x² + y² + Dx + Ey + F = 0 se converte para a reduzida completando os quadrados: (x + D/2)² + (y + E/2)² = (D/2)² + (E/2)² − F. O centro é (−D/2, −E/2) e o raio é a raiz quadrada do lado direito. Atenção ao sinal: o coeficiente em x é −6, então D = −6 e o centro tem abscissa −D/2 = 3.