Análise Combinatória no ENEM

Questão 1

Um estudante do ensino técnico em informática foi convocado para iniciar um estágio em uma empresa de tecnologia do centro de uma capital brasileira. Segundo o regulamento interno da empresa, os estagiários devem comparecer com trajes semiformais durante todo o período de atividades. Para montar seu visual dentro das normas, o estudante separou do armário 3 camisas polo de cores diferentes e 4 calças sociais de modelos distintos, todas combináveis entre si, sem nenhuma restrição de combinação. Cada conjunto formado por uma camisa polo e uma calça diferente é considerado um visual único para fins do regulamento. De quantas maneiras distintas o estudante pode montar seu conjunto de estágio?

Gabarito: C. O princípio multiplicativo é a base da contagem: escolhas independentes feitas em etapas multiplicam suas possibilidades. Somar só vale quando as opções são alternativas excludentes, ou seja, quando se escolhe uma coisa ou outra; já combinar peças em etapas sucessivas exige multiplicar, e não somar, as quantidades de cada etapa.

Questão 2

O Programa Nacional de Alimentação Escolar de um município do interior do Ceará lançou um sistema digital de personalização do cardápio da merenda, acessível por aplicativo no celular, permitindo que cada estudante monte seu lanche conforme suas preferências e restrições alimentares cadastradas. Nesse sistema, o estudante escolhe exatamente 1 tipo de pão entre 2 opções disponíveis, exatamente 1 recheio entre 3 alternativas e exatamente 1 complemento entre 2 escolhas de bebida ou fruta. Todas as combinações são permitidas, e cada escolha é completamente independente das demais etapas. A nutricionista responsável pelo projeto precisa calcular o total de combinações distintas de lanche que podem ser montadas no aplicativo, para dimensionar o estoque de ingredientes junto aos fornecedores. Quantos lanches diferentes podem ser montados pelos estudantes nesse sistema de personalização?

Gabarito: D. Quando uma montagem tem várias etapas independentes, o total de possibilidades é o produto do número de opções de cada etapa. Esse raciocínio em etapas, multiplicando a cada escolha, é o coração do princípio fundamental da contagem.

Questão 3

Uma empresa de logística sediada em Campinas desenvolveu um sistema de roteirização para otimizar a entrega de encomendas em bairros de uma cidade de médio porte. No algoritmo implementado, a ordem em que os 4 endereços de uma determinada rota são visitados determina o custo total do trajeto percorrido pelo entregador. Para calcular quantas rotas diferentes precisam ser avaliadas antes de escolher a de menor custo, a equipe de desenvolvimento precisa calcular o total de ordenações possíveis dos 4 pontos de entrega. Um engenheiro de software explicou que esse número é dado pelo fatorial de 4, que é o produto de 4 por todos os inteiros positivos menores que ele até chegar a 1. Qual é o valor de 4! ?

Gabarito: D. O fatorial multiplica um número por todos os anteriores até 1 e conta de quantas formas se pode ordenar aquele número de elementos distintos. Por isso aparece em permutações: n fatorial é o número de filas possíveis com n objetos diferentes.