MatemáticaAnálise CombinatóriaDifícil

Questão de Análise Combinatória — ENEM

Uma pesquisa registrou os dados de um clube com 6 integrantes que precisa preencher três funções para um evento. Em um cenário, as três funções são distintas: presidente, secretário e tesoureiro, em que a ordem importa. Em outro cenário, os três escolhidos formam apenas um grupo de apoio, todos com o mesmo papel, em que a ordem não importa. A equipe quer comparar as duas contagens. Considerando 6 integrantes escolhidos 3 a 3, quantas são as possibilidades no caso das funções distintas e no caso do grupo de apoio, respectivamente?
A120 e 20
B20 e 120
C120 e 60
D18 e 6
E216 e 120

Gabarito comentado

A mesma escolha de pessoas leva a contagens diferentes conforme a ordem importe (arranjo) ou não (combinação). O arranjo é sempre maior, pois conta as ordens; dividi-lo pelo fatorial dos escolhidos dá a combinação correspondente.

Resolução passo a passo

No caso das funções distintas, a ordem importa, então é um arranjo de 6 tomados 3 a 3: 6 vezes 5 vezes 4, igual a 120. No caso do grupo de apoio, a ordem não importa, então é uma combinação: o arranjo 120 dividido por 3 fatorial (que é 6), resultando em 20. Logo, são 120 possibilidades com funções distintas e 20 para o grupo de apoio. A diferença vem justamente do papel da ordem: o arranjo conta cada trio em várias ordens, e a combinação conta cada trio uma única vez. Apenas 120 e 20, nessa ordem, descreve corretamente os dois cenários.

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