MatemáticaOperações FundamentaisDifícil

Questão de Operações Fundamentais — ENEM

Um relatório de manutenção industrial registrou os dados de três engrenagens que giram acopladas em uma esteira. A primeira completa uma volta a cada 8 segundos, a segunda a cada 12 segundos e a terceira a cada 20 segundos, todas partindo alinhadas em um mesmo instante inicial. A equipe técnica precisa saber depois de quantos segundos as três voltarão a ficar alinhadas exatamente na posição de partida ao mesmo tempo. Considerando os tempos de volta de cada engrenagem, qual é o menor intervalo, em segundos, para que esse alinhamento simultâneo se repita?
A80 segundos
B100 segundos
C120 segundos
D160 segundos
E240 segundos

Gabarito comentado

Para vários ciclos coincidirem, calcula-se o mínimo múltiplo comum de todos os períodos. Com três ou mais números, a fatoração em primos, reunindo os maiores expoentes de cada fator, continua sendo o método mais seguro e organizado.

Resolução passo a passo

O realinhamento simultâneo ocorre em um instante que é múltiplo comum dos três tempos de volta, e o primeiro deles é o mínimo múltiplo comum (MMC) de 8, 12 e 20. Fatorando: 8 = 2³, 12 = 2² × 3 e 20 = 2² × 5. O MMC toma os maiores expoentes de cada fator presente: 2³ × 3 × 5 = 8 × 3 × 5 = 120. Logo, as três engrenagens se alinham novamente após 120 segundos. As alternativas 80, 100 e 160 não são múltiplos de todos os tempos; 240 é múltiplo comum, mas não o menor. Apenas 120 segundos é o MMC correto.

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